10金币悬赏初中数学题目——非脑筋急转弯

Andy

0<=x<=1, 0<=y<=1求两个坐标点 x+y<1/2所组成的x*y的面积的最大极限是多少？答案是1/8，但是我想知道怎么求得的。

chimeilong

0<=x<=1  区间[0,1]
0<=y<=1 区间[0,1]
x+y<1/2 区间x（负无穷，正无穷),y（负无穷，正无穷),
区间重合 当x->0时，y->1/2,当y->0时，x->1/2
则X的区间为[0,1/2],Y的区间为[0,1/2]
X->1/2/2,Y->1/2/2时，面积最最大
面积S->X*Y=1/4*1/4=1/16

Andy

其实我把题目总结概括了，原题如下
在平面直角坐标系中0<=x<=1,0<=y<=1的正方形区域内随机地投一个点，求该点的两个坐标之和小于1/2(即x+y<1/2)的概率。

Andy

谢谢，题目有问题有误导，概率里的面积其实是个三角形，X最大边为1/2，Y最大值为1/2所以矩形为1/4，三角形为1/8

Andy

最多只能给2个金币，晕还有这限制不好吧，怕刷钱？

Andy

其实龙哥的这句话太突然了
X->1/2/2,Y->1/2/2时，面积最最大

按照正常的求法应该是
x+y=1/2
y = 1/2  - x
xy = (1/2 - x) *x
然后求导，为什么要求导？
为了反映x的变化率，当导数为0时，可能出现极大值或极小值，因为变化率为0必定为峰值或谷值。

当然最大值或最小值还可能是在区间的两端，本例中为0或1/2， 那样乘积会为0显然不符合题意。

对xy求导后得到  dy/dx = 1/2 - 2x
令dy / dx = 0
则 1/2 - 2x = 0易得：
x = 1/4，y=1/2 - x = 1/2 - 1/4 = 1/4
最后xy = 1/4 * 1/4 = 1/16

虽然龙哥答案是对的，不过过程有缺陷，现在补充下。

WPFChina

x+y<1/2
可以转为  y< 0.5 - x,  

xy < (0.5-x)*x


f(x) < (0.5-x)*x

f(x) < -x*x + 0.5x

就是求抛物线 -x*x + 0.5x的顶点。 该抛物线开口向下

刚好该抛物线的中线 0.5/2 = 0.25 在题目的区间内。
代入 得出0.0625，

Andy

y = -x*x + 0.5x
y = -(x^2 - 0.5x+1/16) +1/16
y = -(x-1/4)^2 +1/16

当x = 1/4时，y有最大值1/16

最后顺便问下，你是怎么把帖子删掉的。

WPFChina

y = -x*x + 0.5x
y = -(x^2 - 0.5x+1/16) +1/16
y = -(x-1/4)^2 +1/16

当x = 1/4时，y有最大值1/16

最 ...
Andy 发表于 2010-10-18 21:15

我吗?  编辑的时候，就可以删除了